7.2 Using Tables to Find Probabilities of the Standard Normal Distribution Z

一、核心概念 / Core Concepts

1. 标准正态分布 / Standard Normal Distribution

标准正态分布Z具有均值μ = 0和方差σ² = 1的特殊性质。

The standard normal distribution Z has the special properties of mean μ = 0 and variance σ² = 1.

数学记号 / Mathematical Notation：

\[Z \sim N(0, 1^2)\]

其中μ = 0，σ² = 1

Where μ = 0, σ² = 1

2. 概率表格 / Probability Tables

正态分布表格提供P(Z < z)的值，这是计算标准正态分布概率的主要方法。

Normal distribution tables provide values of P(Z < z), which is the main method for calculating standard normal distribution probabilities.

表格特点 / Table Characteristics：

• 只给出z ≥ 0的值

• Only gives values for z ≥ 0

• 对于负z值需要使用对称性质

• For negative z values, symmetry properties must be used

3. 对称性质 / Symmetry Properties

标准正态分布具有对称性质，这是计算负z值概率的关键。

The standard normal distribution has symmetry properties, which is key to calculating probabilities for negative z values.

对称公式 / Symmetry Formulas：

• P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a)

• 利用对称性质可以计算负z值的概率

• Use symmetry properties to calculate probabilities for negative z values

二、重要公式 / Important Formulas

标准正态分布概率公式 / Standard Normal Distribution Probability Formulas

1. 基本概率记号 / Basic Probability Notation

\[\Phi(a) = P(Z < a)\]

Φ(a)是P(Z < a)的简写记号。

Φ(a) is shorthand notation for P(Z < a).

2. 对称性质 / Symmetry Properties

\[P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a)\]

利用对称性质计算负z值的概率。

Use symmetry properties to calculate probabilities for negative z values.

3. 大于概率 / Greater Than Probability

\[P(Z > a) = 1 - P(Z < a)\]

计算Z大于a的概率。

Calculate the probability that Z is greater than a.

4. 区间概率 / Interval Probability

\[P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)\]

计算Z在区间(a, b)内的概率。

Calculate the probability that Z lies in the interval (a, b).

三、计算步骤 / Calculation Steps

使用表格查找概率的步骤 / Steps for Finding Probabilities Using Tables

步骤1：识别问题类型
Step 1: Identify the problem type
确定要求的是P(Z < a)、P(Z > a)还是P(a < Z < b)。
步骤2：绘制图表
Step 2: Draw a diagram
绘制标准正态分布曲线并标出所需区域。
步骤3：查找表格值
Step 3: Look up table values
对于P(Z < a)，直接在表格中查找a对应的值。
步骤4：应用对称性（如需要）
Step 4: Apply symmetry (if needed)
对于负z值，使用P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a)。
步骤5：计算最终结果
Step 5: Calculate final result
对于区间概率，使用P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)。

四、经典例子 / Classic Examples

问题类型	描述	解决方法
P(Z < a)	直接查找表格	在表格中查找a对应的值
P(Z > a)	使用补集	P(Z > a) = 1 - P(Z < a)
P(Z < -a)	使用对称性	P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a)
P(a < Z < b)	区间概率	P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)

五、实际应用 / Practical Applications

标准正态分布概率的实际应用场景 / Practical Applications of Standard Normal Distribution Probabilities

质量控制 / Quality Control: 使用标准正态分布评估产品质量和过程控制
医学研究 / Medical Research: 分析血压、身高、体重等生理指标的分布
教育评估 / Educational Assessment: 分析考试成绩的分布和标准化评分
金融分析 / Financial Analysis: 风险评估和投资组合分析
社会科学 / Social Sciences: 人口统计学和社会调查数据分析
工程应用 / Engineering Applications: 测量误差分析和可靠性评估

六、重要提示 / Important Tips

学习与应用要点 / Key Points for Learning and Application

表格限制：表格只给出z ≥ 0的值，负z值必须使用对称性质。
Table Limitations: Tables only give values for z ≥ 0, negative z values must use symmetry properties.
连续分布特性：对于连续分布，P(Z < z)和P(Z ≤ z)没有区别。
Continuous Distribution Properties: For continuous distributions, there is no difference between P(Z < z) and P(Z ≤ z).
概率范围：所有概率值都必须在0和1之间。
Probability Range: All probability values must be between 0 and 1.
验证方法：使用常识和绘制图表来验证计算结果。
Verification Methods: Use common sense and draw diagrams to verify calculation results.
常见错误：注意符号错误、对称性错误和区间计算错误。
Common Errors: Watch out for sign errors, symmetry errors, and interval calculation errors.